Lagrange সমীকরণের সবচেয়ে বড় সুবিধা হলো বল (force) সরাসরি ব্যবহার না করেও সিস্টেমের গতিবিজ্ঞান বিশ্লেষণ করা যায়। Newton-এর সমীকরণে প্রতিটি বলের মান ও দিক আলাদাভাবে নির্ণয় করতে হয়, যা জটিল হতে পারে।

Lagrange পদ্ধতিতে আমরা শুধুমাত্র শক্তি ব্যবহার করি—

• Kinetic Energy (গতি শক্তি)

• Potential Energy (স্থিতিশক্তি)

এর মাধ্যমে generalized coordinates ব্যবহার করে সরলভাবে সমীকরণ তৈরি করা যায়।

Cramer’s Rule হলো একটি পদ্ধতি যা system of linear equations সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এটি মূলত determinant ব্যবহার করে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় করে।

ব্যবহার:

1. System of Linear Equations:
   ধরা যাক একটি $n \times n$ সিস্টেম:

   $$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \vdots a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n$$

2. Cramer’s Rule অনুযায়ী:

   • প্রতিটি অজানা $x_i$-এর সমাধান দেওয়া হয়:

   $$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

   যেখানে,

   • $A$ হলো মূল coefficient matrix।

   • $A_i$ হলো $A$-এর সেই matrix যেখানে $i$-তম column-এর স্থানান্তর $b$ vector দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।

শর্ত:

• $\det(A) \neq 0$ হলে এই পদ্ধতি প্রযোজ্য।

সূত্রটি হলো:

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

যেখানে:

• $e$ = প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি (≈ 2.71828)

• $i$ = √(-1) (কাল্পনিক সংখ্যা)

• $\theta$ = কোণ (radian এককে)

ব্যাখ্যা:
এই সূত্রটি Leonhard Euler প্রদত্ত, যা জটিল সংখ্যা, ত্রিকোণমিতি ও সূচক ফাংশনের মধ্যে একটি গভীর সম্পর্ক স্থাপন করে।