গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) এর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো—পর্যবেক্ষণগুলোর মান থেকে গড়ের বিচ্যুতির বর্গফলের যোগফল সর্বনিম্ন হয়।

অর্থাৎ, যদি ডেটাসেটের প্রতিটি মান থেকে গড়কে বিয়োগ করে তার বর্গফল নেওয়া হয় এবং সবগুলোর যোগফল করা হয়, তাহলে এই যোগফল অন্যান্য কোনো কেন্দ্রীয় মানের তুলনায় সর্বনিম্ন হয়।

মূল বিষয়সমূহ—

• এটি গাণিতিক গড়ের এক সর্বনিম্নকরণ বৈশিষ্ট্য (Minimum Property)।

• এই বৈশিষ্ট্য ডেটার কেন্দ্রীকরণ ও বিচ্যুতি বিশ্লেষণে গাণিতিক গড়কে সবচেয়ে উপযুক্ত করে তোলে।

• অন্য কোনো কেন্দ্রীয় মান (যেমন, মধ্যমা বা মোড) ব্যবহার করলে বর্গফলের যোগফল তুলনামূলকভাবে বেশি হবে।

সুতরাং, sum of squares of deviations about arithmetic mean is least হলো গাণিতিক গড়ের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

বিকল্প কল্পনা (Alternative Hypothesis) হলো এমন একটি অনুমান যা মূল অনুমান বা শূন্য কল্পনা (Null Hypothesis)–এর বিপরীত ধারণা উপস্থাপন করে এবং গবেষণায় সেটিই বাস্তবিকভাবে পরীক্ষা বা যাচাই করা হয়।

• এটি নির্দেশ করে যে নমুনায় পাওয়া প্রভাব বা পার্থক্যটি কেবল দৈব কারণে নয়, বরং প্রকৃতপক্ষে কোনো সম্পর্ক বা প্রভাব বিদ্যমান।

• অন্য নাম: Research Hypothesis (গবেষণা কল্পনা)

• সাধারণত Alternative Hypothesis দ্বারা বোঝানো হয় যে কোনো ভ্যারিয়েবল বা ট্রিটমেন্টের প্রভাব রয়েছে বা সম্পর্ক বিদ্যমান।

উদাহরণ:

• Null Hypothesis (H₀): কোনো নতুন ঔষধের প্রভাব নেই।

• Alternative Hypothesis (H₁): নতুন ঔষধের প্রভাব আছে।

যখন শূন্য উপপাদ্য (Null Hypothesis, H₀) প্রকৃতপক্ষে সত্য হলেও আমরা সেটি ভুলভাবে প্রত্যাখ্যান করি, তখন সেটিকে Type I Error বলা হয়। এটি উপপাদ্য পরীক্ষায় একটি সাধারণ ত্রুটি, যা ভুল সিদ্ধান্তের মাধ্যমে প্রকৃত সত্যকে অগ্রাহ্য করে।

মূল বিষয়সমূহ:

• Type I Error ঘটে যখন সত্য শূন্য উপপাদ্যকে ভুলক্রমে বাতিল করা হয়।

• এই ত্রুটি সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনাকে α (আলফা) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যাকে বলা হয় তাৎপর্যের স্তর (Level of Significance)।

• সাধারণত ব্যবহৃত তাৎপর্যের মান হলো α = 0.05 বা α = 0.01, যা নির্দেশ করে ৫% বা ১% সম্ভাবনা আছে ভুলভাবে শূন্য উপপাদ্য বাতিল করার।

অর্থাৎ, Type I Error হলো এমন একটি ভুল যেখানে আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে কোনো পার্থক্য বা প্রভাব আছে, অথচ বাস্তবে তা নেই।