প্রশ্ন: p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে p2 + q2 এর মান কত?

সমাধান:
p + q = 5 
p - q = 3

আমরা জানি 
2(p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
⇒ 2(p2 + q2) = 52 + 32
⇒ 2(p2 + q2) = 25 + 9
⇒ 2(p2 + q2) = 34
∴ (p2 + q2) = 17

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d ; যেখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর।

সুতরাং,

সমান্তর ধারার 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a + 3d

সমান্তর ধারার 12 পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে,

a + 3d + a + 11d = 20

∴ 2a + 14d = 20 ........ (1)

আবার,

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল = (n/2) × {2a + (n - 1)d}

∴ সমান্তর ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}

= (15/2) × {2a + 14d}

= (15/2) × 20 ; [(1) নং হতে]

= 15 × 10

= 150

সুতরাং, ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল 150

Question: A mixture contains two liquids 'A' and 'B' in the ratio 5 : 3. If 8 litres of the mixture is withdrawn and replaced with 8 litres of 'A', the ratio becomes 2 : 1. What was the initial quantity of 'B'?

Solution:
ধরি, প্রাথমিক মিশ্রণের পরিমাণ ছিল 8x লিটার।
যেখানে A এর পরিমাণ = 5x লিটার এবং B এর পরিমাণ = 3x লিটার।

8 লিটার মিশ্রণ তুলে নেওয়ার পর,
মিশ্রণে A এর পরিমাণ = 5x - (5/8) × 8 = 5x - 5 লিটার।
মিশ্রণে B এর পরিমাণ = 3x - (3/8) × 8 = 3x - 3 লিটার।

নতুন 8 লিটার 'A' যোগ করার পর,
A এর নতুন পরিমাণ = (5x - 5) + 8 = 5x + 3 লিটার।

প্রশ্নানুযায়ী, নতুন অনুপাত,
⇒ (5x + 3) / (3x - 3) = 2/1
⇒ 1(5x + 3) = 2(3x - 3)
⇒ 5x + 3 = 6x - 6
⇒ 3 + 6 = 6x - 5x
⇒ 9 = x

সুতরাং, প্রাথমিকভাবে B এর পরিমাণ ছিল = 3x = 3 × 9 = 27 লিটার।