প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম । এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১ । এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:

গহনার ওজন = ১৬ গ্রাম

অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪

∴ সোনার পরিমাণ = (১৬ × ৩)/৪ = ১২ গ্রাম

∴ তামার পরিমাণ = (১৬ × ১)/৪ = ৪ গ্রাম

ধরি,

ক পরিমাণ সোনা মিশাতে হবে

প্রশ্নমতে,

ক + ১২ : ৪ = ৪ : ১

(ক + ১২)/৪ = ৪/১

ক + ১২ = ১৬

ক = ১৬ - ১২

ক = ৪

∴ অতিরিক্ত সোনা মেশাতে হবে ৪ গ্রাম

প্রশ্ন: x2 - 7x + 12 এবং x3 - 6x2 + 11x - 6 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথম রাশি:
x2 - 7x + 12
= x2 - 4x - 3x + 12
= x(x - 4) - 3(x - 4)
= (x - 4)(x - 3)

দ্বিতীয় রাশি:
ধরি, f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
f(3) = 33 - 6(3)2 + 11(3) - 6
= 27 - 54 + 33 - 6
= 0

যেহেতু f(3) = 0, তাই (x - 3) হবে f(x)-এর একটি উৎপাদক।

এখন,
f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
= x3 - 3x2 + 2x - 3x2 + 9x - 6
= (x - 3)(x2 - 3x + 2)
= (x - 3)(x - 2)(x - 1)

প্রথম রাশি = (x - 4)(x - 3)
এবং দ্বিতীয় রাশি = (x - 3)(x - 2)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. হলো উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক, যা হলো (x - 3)।

প্রশ্ন: দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৬০ এবং ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক × (২/৩) = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক২ = ৬০০
⇒ ক২ = ৬০০/৬
⇒ ক২ = ১০০
⇒ ক = ১০

অর্থাৎ
ছোট সংখ্যাটি = (২ × ১০) = ২০
এবং বড় সংখ্যাটি = (৩ × ১০) = ৩০

∴সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = (২০ + ৩০) = ৫০