প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির লোহার পাতের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি ও ৪ সে.মি এবং এদের লম্ব দূরত্ব ৫ সে.মি। পাতটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য, a = ৮ সেমি এবং b = ৪ সেমি।

তাদের লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা, h = ৫ সেমি।

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা

= (১/২) × (৮ + ৪) × ৫

= (১/২) × ১২ × ৫

= ৬ × ৫

= ৩০ বর্গ সেমি।

অতএব, পাতটির ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ সেমি।

Question: ΔABC is a right-angled isosceles triangle, and ∠B is the right angle in the triangle. If AC measures 10√2, then which one of the following would equal the lengths of AB and BC, respectively?

Solution:
যেহেতু ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং ∠B হলো সমকোণ, তাই সমকোণের সাথে সংযুক্ত বাহু দুটি অর্থাৎ AB এবং BC এর দৈর্ঘ্য সমান হবে।

 পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB2 + BC2 = AC2
⇒ BC2 + BC2 = (10√2)2 [এখানে, AB = BC এবং AC = 10√2]
⇒ 2BC2 = 102 × 2
⇒ BC2 = 102 
⇒ BC = 10

সুতরাং, AB এবং BC এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 এবং 10।

প্রশ্ন: একটি বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ মিটার, ১৭ মিটার ও ২১ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
এখানে, 
s = (a + b + c)/২
= (১০ + ১৭ + ২১)/২
= ৪৮/২
= ২৪ মিটার 

ক্ষেত্রফল = √{২৪ (২৪ - ১০)(২৪ - ১৭)(২৪ - ২১)}
= √(২৪ × ১৪ × ৭ × ৩) 
= √৭০৫৬ 
= ৮৪ বর্গমিটার।