Question: Two cards are drawn at random and without replacement from a standard deck of 52 cards. What is the probability that both cards are face cards?

Solution:
Total card = 52
Total face card = 3 × 4 = 12

Total ways to choose 2 cards from 52 = 52C2 = (52 × 51)/2 = 1326

Total ways to choose 2 face cards from 12 = 12C2 = (12 × 11)/2 = 66

∴ So, the probability that both cards are face cards = 66/1326
= (2 × 3 × 11)/(2 × 3 × 221)
= 11/221

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭ এবং ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ২/৫। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = ৩/৭

ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ২/৫

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৭) × (২/৫)
= ৬/৩৫

Question:  A group has 8 men and 7 women. In how many ways can a committee of 5 people be formed if the number of women is at least 3?
​
​Solution:
​Given that,
​Total committee size = 5

And for women ≥ 3, possible distributions:
Three ways to formed the committee
1. 3 women + 2 men
2. 4 women + 1 man
3. 5 women + 0 men
​
​Now, 1st case- 3 women + 2 men
​Choose 3 women from 7, (7C3) = 35
​Choose 2 men from 8,  (8C2) = 28
​∴ Total ways = 35 × 28 = 980
​
​2nd case- 4 women + 1 man
​Choose 4 women from 7, (7C4) = 35
Choose 1 man from 8, (8C1) = 8
 ​∴ Total ways = 35 × 8 = 280
​
​And 3rd case-​5 women + 0 men
Choose 5 women from 7,  (7C5) = 21
No men to choose
​∴ Total ways = 21
​
​∴ ​Total ways = 980 + 280 + 21= 1281