প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম। 

এখানে, 
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই, 
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব, 
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব, 
২ + ৩ = ৫ = ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয় এবং 
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে, কারণ ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো A = πr², যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ। এখন যদি বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পায়, তবে ব্যাসার্ধও তিনগুণ বৃদ্ধি পাবে, কারণ ব্যাসের সাথে ব্যাসার্ধ সরাসরি সমানুপাতিক।

• প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ধরা যাক r।
  প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে πr²।

• ব্যাস তিনগুণ হলে নতুন ব্যাসার্ধ হবে 3r।
  নতুন ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = π × 9r² = 9πr²।

অতএব, নতুন ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

অন্য বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়—

• ৩ গুণ হলে ক্ষেত্রফল শুধু তিনগুণ হতো, যা সম্ভব নয় কারণ ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের উপর নির্ভর করে।

• ১২ গুণ বা ১৬ গুণ হওয়া গাণিতিকভাবে ভুল, কারণ (৩² = ৯), (৪² = ১৬), কিন্তু এখানে ব্যাস ৩ গুণ হয়েছে, ৪ নয়।

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো — খ) ৯ গুণ।

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 30 বর্গমিটার ও আয়তন 150 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

​আমরা জানি,

বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh

বেলনের আয়তন = πr2h

দেওয়া আছে,

বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30 বর্গমিটার

অতএব, 2πrh = 30 ........ (1)

এবং

বেলনের আয়তন = 150 ঘনমিটার

অতএব, πr2h = 150 ........ (2)

এখন, সমীকরণ (2) কে সমীকরণ (1) দ্বারা ভাগ করে পাই:

(πr2h)/(2πrh) = 150/30

​বা, r/2 = 5

​বা, r = 5 × 2

∴ r = 10

সুতরাং, বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ হলো 10 মিটার।