প্রশ্ন: ১১,৭০০ টাকা একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে P, Q ও R এর মধ্যে ভাগ করতে হবে, যেখানে অনুপাতটি হলো ১/২ : ১/৩ : ১/৪ তবে, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য কত টাকা?

Solution:
দেওয়া আছে,
P : Q : R = (১/২) : (১/৩) : (১/৪)

এই ভগ্নাংশগুলিকে সরল করার জন্য ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২ দ্বারা গুণ করে পাই
∴ P : Q : R = {(১/২) × ১২} : {(১/৩) × ১২} : {(১/৪) × ১২}
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের যোগফল = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

∴ ১ অংশের মূল্য = ১১,৭০০/১৩ = ৯০০ টাকা

∴ P এর অংশ = ৬ × ৯০০ = ৫৪০০ টাকা 
∴ Q এর অংশ = ৪ × ৯০০ = ৩৬০০ টাকা 
∴ R এর অংশ = ৩ × ৯০০ = ২৭০০ টাকা

সবচেয়ে বড় অংশ = P = ৫৪০০ টাকা
সবচেয়ে ছোট অংশ = R = ২৭০০ টাকা

∴ সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য = (৫৪০০ - ২৭০০) = ২৭০০ টাকা

উত্তর: খ) ৬
ব্যাখ্যা:
এই প্রশ্নটি কাজের হার (Work Rate) সম্পর্কিত একটি সাধারণ গাণিতিক সমস্যা। এখানে টাইপিস্টের সংখ্যা, টাইপ করার সময় এবং পৃষ্ঠার সংখ্যা – এই তিনটির মধ্যে সরল অনুপাতিক সম্পর্ক বিদ্যমান। সঠিক উত্তর বের করতে হলে প্রথমে একজন টাইপিস্টের কাজের হার নির্ণয় করতে হবে।

নিচে ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ দেওয়া হলো—

• প্রদত্ত তথ্যে বলা হয়েছে, ২ জন টাইপিস্ট ২ মিনিটে ২ পৃষ্ঠা টাইপ করে।
  অর্থাৎ, মোট কাজ = ২ পৃষ্ঠা।
  সময় = ২ মিনিট।
  জনসংখ্যা = ২ জন টাইপিস্ট।

• তাহলে একজন টাইপিস্ট ২ মিনিটে টাইপ করবে ১ পৃষ্ঠা।
  (কারণ ২ জন মিলে ২ পৃষ্ঠা → ১ জন করবে ২ ÷ ২ = ১ পৃষ্ঠা)

• এখন দেখা যাক একজন টাইপিস্ট ১ মিনিটে কত পৃষ্ঠা টাইপ করবে।
  ২ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা → ১ মিনিটে ½ পৃষ্ঠা।

অর্থাৎ একজন টাইপিস্টের কাজের হার হলো প্রতি মিনিটে ½ পৃষ্ঠা।

• এবার চাওয়া হয়েছে ১৮ পৃষ্ঠা ৬ মিনিটে টাইপ করতে কতজন টাইপিস্ট প্রয়োজন হবে।
  ৬ মিনিটে একজন টাইপিস্ট করতে পারবে = ½ × ৬ = ৩ পৃষ্ঠা।

অর্থাৎ একজন টাইপিস্ট ৬ মিনিটে ৩ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে।
সুতরাং ১৮ পৃষ্ঠা টাইপ করতে প্রয়োজন হবে = ১৮ ÷ ৩ = ৬ জন টাইপিস্ট।

অতএব, ১৮ পৃষ্ঠা ৬ মিনিটে টাইপ করতে ৬ জন টাইপিস্ট লাগবে।

এখানে ধারণাটি অনুপাতের ভিত্তিতে ব্যাখ্যা করা যায়—

• কাজের পরিমাণ (pages) ∝ (টাইপিস্ট সংখ্যা × সময়)
  অর্থাৎ, যদি কাজ বেড়ে যায়, তবে টাইপিস্ট সংখ্যা বা সময়—যেকোনো একটিকে আনুপাতিকভাবে বাড়াতে হবে।

• প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
  ২ টাইপিস্ট × ২ মিনিট = ৪ “টাইপিস্ট-মিনিট” দিয়ে ২ পৃষ্ঠা টাইপ হয়।
  অর্থাৎ প্রতি পৃষ্ঠার জন্য দরকার ৪ ÷ ২ = ২ “টাইপিস্ট-মিনিট”।
  সুতরাং ১৮ পৃষ্ঠার জন্য দরকার ১৮ × ২ = ৩৬ “টাইপিস্ট-মিনিট”।
  এখন মোট সময় ৬ মিনিট, তাই প্রয়োজন হবে ৩৬ ÷ ৬ = ৬ জন টাইপিস্ট।

সব দিক বিবেচনায় দেখা যায়, সঠিক ও যৌক্তিক উত্তর হলো খ) ৬।

সমাধান ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত:

• মূলধন, $P = 2000$ টাকা

• সময়, $n = 2$ বছর

• বার্ষিক সুদের হার, $r = 10\% = 0.10$

১. সরল সুদ (Simple Interest):

$$SI = P \times n \times r = 2000 \times 2 \times 0.10 = 400 \text{ টাকা}$$

২. চক্রবৃদ্ধি সুদ (Compound Interest):

$$A = P(1 + r)^n = 2000 \times (1 + 0.10)^2 = 2000 \times 1.1 \times 1.1 = 2420$$

চক্রবৃদ্ধি সুদ = $A - P = 2420 - 2000 = 420$ টাকা

৩. পার্থক্য:

$$420 - 400 = 20 \text{ টাকা}$$

উত্তর: চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য = 20 টাকা।