প্রশ্ন: log2 + log4 + log16 + log256 + ... এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log16 + log256 + ...
প্রথম 10টি পদ হবে,
log(2¹) + log(2²) + log(2⁴) + log(2⁸) + log(2¹⁶) + log(2³²) + log(2⁶⁴) + log(2¹²⁸) + log(2²⁵⁶) + log(2⁵¹²)
= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512)log2
এখানে,
প্রথম পদ = 1, সাধারণ অনুপাত = 2 এবং সংখ্যা = 10
= a(rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
= 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 2¹⁰ - 1

এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি  (2¹⁰ - 1)log2

Question: In a mixture 60 litres, the ratio of milk and water 2 : 1. If this ratio is to be 1 : 2, then the quantity of water to be further added is-

Solution:
Quantity of milk = 60 × (2/3) litres = 40 litres.
Quantity of water in it = (60 -  40) litres = 20 litres.
New ratio = 1 : 2
Let quantity of water to be added further be x litres.
Then,
milk : water = 40/(20 + x)
Now,
40/(20 + x) = 1/2
⇒ 20 + x = 80
∴ x = 60.
Quantity of water to be added = 60 litres.

প্রশ্ন: 4x + 41 - x = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
4x + 41 - x = 4
⇒ 4x + 41/4x = 4
⇒ 4x + 4/4x = 4    [41 = 4]

মনে করি, 4x = y
সুতরাং,
y + 4/y = 4
বা, (y2 + 4)/y = 4 
বা, y2 + 4 = 4y
বা, y2 - 4y + 4 = 0
বা, y2 - 2.y.2 + 22 = 0
বা, (y - 2)2 = 0
বা, y - 2 = 0
বা, y = 2
বা, 4x = 2            [y = 4x  বসিয়ে]
বা, (22)x = 21      [21 = 2]
বা, 22x = 21
বা, 2x = 1
∴ x = 1/2