প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২১ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:

এখানে,

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২১ সেমি

∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr

= ২ × (২২/৭) × ২১

= ১৩২ সেমি

আবার,

ধরি, আয়তক্ষেত্রের

দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক

প্রশ্ন অনুসারে,

⇒ ৮ক = ১৩২

∴ ক = ১৩২ ÷ ৮ = ১৬.৫

∴ প্রস্থ = ক = ১৬.৫ সে.মি.

তাহলে,

দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ১৬.৫ = ৪৯.৫ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক

= ৪৯.৫ × ১৬.৫

= ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

Question: A 125-meter-long train overtakes a person moving at 5 km/h in 10 seconds, while both are moving in the same direction. What is the speed of the train?

Solution:

ট্রেনটি ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করে। 

∴ আপেক্ষিক গতিবেগ = 125m/10s

= 12.5 m/s 

= (12.5/1000)/(1/3600) km/h

= (12.5 × 3600)/1000 km/h

= 45 km/h

ধরি,

ট্রেনের গতিবেগ = x km/h

দেওয়া আছে,

ব্যক্তির গতিবেগ = 5 km/h

আমরা জানি,

আপেক্ষিক গতিবেগ = ট্রেনের গতিবেগ - ব্যক্তির গতিবেগ 

⇒ ট্রেনের গতিবেগ = আপেক্ষিক গতিবেগ + ব্যক্তির গতিবেগ

⇒ x = (45 + 5) km/h 

⇒ x = 50 km/h 

৩৬০০ সেকেন্ডে যায় = ৯৩০০০ মিটার

১২ সেকেন্ডে যায় = ৯৩০০০ × ১২ / ৩৬০০ = ৩১০ মিটার

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩১০ -৯০ = ২২০ মিটার

তাহলে ৩১০ মিটার অতিক্রম করে = ১২ সেকেন্ডে

∴ (২২০ + ২৪৫ ) = ৪৬৫ মিটার অতিক্রম করে = ১২× ৪৬৫ / ৩১০ সেকেন্ডে = ১৮ সেকেন্ড