প্রশ্ন: a + b = 2 এবং a2 + b2 = 4 হলে, a3 + b3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 2 
a2 + b2 = 4

এখন,
a² + b² = 4
⇒ (a + b)2 - 2ab = 4
⇒ (2)2 - 2ab = 4
⇒ 2ab = 4 - 4 
⇒ 2ab = 0
⇒ ab = 0

∴  a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
= (2)3 - (3 × 0 × 2)
= 8 - 0
= 8

প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 190
⇒ n!/2!(n - 2)! = 190
⇒ {n × (n - 1)×(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190 [n! = n × (n - 1) × (n - 2)!]
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 190 × 2
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n2 - n - 380 = 0
⇒ n2 - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0

হয় n + 19 = 0 অথবা n - 20 = 0
⇒ n = - 19 অথবা n = 20

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 19 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 20

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 20টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

প্রশ্ন: x3 - 6x2 + 11x - 6 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:

ধরি,

f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6

∴ ‍f(1) = (1)3 - 6.(1)2 + 11.(1) - 6

= 1 - 6 + 11 - 6

= 12 - 12

= 0

∴ ‍(x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,

x3 - 6x2 + 11x - 6

= x3 - x2 - 5x2 + 5x + 6x - 6

= x2(x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)

= (x - 1) (x2 - 5x + 6)