প্রশ্ন: যদি 1/a = √5 - 2 হয়, তাহলে a3 + 3a + 3a-1 + a-3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/a) = √5 - 2
⇒ a = 1/(√5 - 2)
⇒ a = (√5 + 2)/(√5 + 2)(√5 - 2)
= (√5 + 2)/ (√5)2 - (2)2
= (√5 + 2)/(5 - 4)
= (√5 + 2)/1
= √5 + 2
∴ a = √5 + 2

∴ a + (1/a) = √5 + 2 + √5 - 2
= 2√5

a3 + 3a + 3a-1 + a-3
= a3 + 3a + 3(1/a) + (1/a3)
= a3 + (1/a3) + 3a + 3(1/a) 
= (a + 1/a)3 - 3.a.(1/a)(a + 1/a) + 3(a + 1/a)
= (2√5)3 - 3.2√5 + 3.2√5
= (2√5)3
= 40√5

প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, a3 + (1/a)3 এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

a = √3 + √2

বা, 1/a = 1/(√3 + √2)

= {1 × (√3 - √2)} / {(√3 + √2) (√3 - √2)}

= (√3 - √2) / (√3)2 - (√2)2

= (√3 - √2) / (3 - 2)

= √3 - √2

∴ ‍a + (1/a) = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

এখন,

a3 + (1/a)3 = {a + (1/a)}3 - 3.a.(1/a) {a + (1/a)}

= (2√3)3 - 3 × (2√3)

= 8 × 3√3 - 6√3

= 24√3 - 6√3

= 18√3

প্রশ্ন: যদি a3 - b3 = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a3 - b3 = 513
বা, (a - b)3 + 3ab (a - b) = 513
বা, (3)3 + 3ab × 3 = 513
বা, 27 + 9ab = 513 
বা, 9ab = 513 - 27 
বা, 9ab = 486 
বা, ab = 486/9 
∴ ab = 54