প্রশ্নে ১² + ২² + ৩² + … + ৫০² এর যোগফল নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। এটি একটি ধারাবাহিক বর্গসংখ্যার যোগফল, যার সাধারণ সূত্র হলো—

১² + ২² + ৩² + … + n² = [n(n + 1)(2n + 1)] ÷ 6

এখানে, n = ৫০

তাহলে,
যোগফল = [৫০ × (৫০ + ১) × (২×৫০ + ১)] ÷ ৬
= [৫০ × ৫১ × ১০১] ÷ ৬

এখন ধাপে ধাপে হিসাব করি—
৫০ × ৫১ = ২৫৫০
২৫৫০ × ১০১ = ২৫৭৫৫০
২৫৭৫৫০ ÷ ৬ = ৪২৯২৫

অতএব, সঠিক উত্তর (খ) ৪২৯২৫।

ব্যাখ্যা হিসেবে বলা যায়—
• এই ধরনের যোগফলকে বর্গসংখ্যার যোগফল (Sum of squares) বলা হয়, যেখানে প্রতিটি পদ একটি সংখ্যার বর্গ।
• প্রথম n সংখ্যার বর্গের যোগফলের জন্য প্রমাণিত সূত্রটি হলো n(n + 1)(2n + 1)/6, যা গণিতে বহুবার পরীক্ষিত একটি সূত্র।
• এখানে n = ৫০ বসিয়ে দেখা যায় যে যোগফলটি একটি নির্দিষ্ট ধারা অনুযায়ী বাড়ছে; যেমন ১² = ১, ২² = ৪, ৩² = ৯ ইত্যাদি।
• এই যোগফলটি দ্রুত বের করার জন্য সূত্রের ব্যবহার সবচেয়ে সহজ উপায়, কারণ হাতে হাতে ৫০টি সংখ্যার বর্গ যোগ করা বাস্তবে সময়সাপেক্ষ।
• সূত্রটি আসলে এসেছে অঙ্কগাণিতিক ধারা ও গাণিতিক প্রমাণ (Mathematical Induction) থেকে, যা প্রতিটি সংখ্যার বর্গ যোগের নিয়মকে নির্দিষ্ট করে।
• প্রাপ্ত মান ৪২৯২৫ বোঝায় যে ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সব বর্গসংখ্যা যোগ করলে এই মান পাওয়া যায়, যা গণিতে একটি নিখুঁত ধারার ফলাফল।
• যাচাই করলে দেখা যায়, সূত্রে সামান্য ভুল করলে ফলাফল বদলে যেতে পারে, তাই প্রতিটি ধাপ সঠিকভাবে অনুসরণ করা জরুরি।

সব মিলিয়ে, ১² + ২² + ৩² + … + ৫০² এর যোগফল ৪২৯২৫, যা বিকল্প (খ)-এর সঙ্গে মিলে যায়। এটি একটি নিখুঁত উদাহরণ যেখানে গণিতের সূত্র ব্যবহার করে দ্রুত ও নির্ভুলভাবে ফলাফল নির্ণয় করা যায়।

প্রশ্ন: ০.৫ × ০.০৩ × ০.০৪ = কত?

সমাধান:

4x² + 7x² + 3x² একটি সমজাতীয় পদ বিশ্লেষণের উদাহরণ। এখানে প্রতিটি পদের ঘাত বা সূচক সমান (x²), তাই শুধুমাত্র সহগগুলো যোগ করা হয়।

• প্রথমে 4x² + 7x² = 11x²

• এরপর 11x² + 3x² = 14x²

• যেহেতু সব পদই x², তাই ঘাত অপরিবর্তিত থাকে।

• চূড়ান্ত ফলাফল হবে 14x²।

সুতরাং, উত্তর: 14x² (গ)