Question: An observer 1.6 m tall stands 20 meters away from a tree. The angle of elevation from his eye to the top of the tree is 45°. What is the height of the tree?

Solution:

মনে করি, 
গাছটির উচ্চতা AB। পর্যবেক্ষকের চোখ C বিন্দুতে আছে এবং তার উচ্চতা CD = 1.6 m
পর্যবেক্ষক থেকে গাছটির দূরত্ব BD = 20 m
এখানে, A, C এবং E বিন্দু দ্বারা গঠিত ACE হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠C = 45°।

আমরা জানি,
tan θ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = AE এবং ভূমি = CE
∴ tan 45° = AE/20
∴ 1 = AE/20
∴ AE = 20 মিটার

গাছটির মোট উচ্চতা, AB = AE + EB
= 20 + 1.6
= 21.6 মিটার

সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হলো 21.6 মিটার।

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ১০ সে.মি. এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা 
= (১/২) × (৮ + ১০) × ৭ 
= (১/২) × ১৮ × ৭ 
= ৬৩ বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{x + (x - ২৩)} মিটার
= ২(২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার ।