প্রশ্ন:
একটি ত্রিভুজে কয়টি সমকোণ থাকতে পারে?

সমাধান:

• একটি ত্রিভুজে মাত্র ১টি সমকোণ থাকতে পারে।

• সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ, এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়।

• ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ (180°)।

• সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলা হয়।

• অতিভূজের বিপরীত কোণই সমকোণ।

• সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজই সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের বাহু।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৭√৩ বর্গ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৭√৩ বর্গ সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(বাহু)২ = ২৭√৩
⇒ (বাহু)২ = (২৭√৩ × ৪)/√৩
 ⇒ (বাহু)২ = ১০৮
 ⇒ বাহু = √১০৮
 ⇒ বাহু = √(৩৬ × ৩)
 ⇒ বাহু = ৬√৩ 

∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
 ⇒ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = সমবাহু ত্রিভুজের বাহু/√৩ 
= (৬√৩)/√৩ 
= ৬ সে.মি. 

Question: The perimeter of a rectangular field is 110 meters. If the length of the field is 5 meters less than three times the width, what is the area of that field in square meters?

Solution:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 3x - 5 মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে,
2((3x - 5) + x) = 110
⇒ 2(4x - 5) = 110
⇒ 4x - 5 = 55
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15 মিটার

সুতরাং, প্রস্থ = 15 মিটার।
দৈর্ঘ্য = 3x - 5 = (3 × 15) - 5 
= 45 - 5 = 40 মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ক্ষেত্রফল = 40 × 15 = 600 বর্গ মিটার।

সুতরাং, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো 600 বর্গ মিটার।