প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়?

সমাধান: 
- দুইটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে সমান হলেও ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম নাও হতে পারে।

দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য শর্তসমূহ:
- একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান।
- একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান।
- একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান।

প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = ক
∴ অপর সূক্ষ্মকোণ = ক - ২০°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের যোগফল ৯০° হয়।
প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ২০°) = ৯০°
⇒ ২ক - ২০° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° + ২০°
⇒ ২ক = ১১০°
⇒ ক = ১১০°/২
⇒ ক = ৫৫°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণটির মান = ৫৫° - ২০° = ৩৫°

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের মূল সূত্র হলো ভূমি × উচ্চতা। কারণ সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল ও সমান, এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ভর করে একটি বাহুকে ভূমি ধরে তার উপর অঙ্কিত লম্ব উচ্চতার উপর।

• ভূমি হলো সামান্তরিকের একটি বাহু, যা নিচের দিকে ধরা হয়।

• উচ্চতা হলো ঐ ভূমির উপর লম্ব দূরত্ব, অর্থাৎ বিপরীত বাহু পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বরেখা।

• ক্ষেত্রফল মানে সেই স্থানফল যা সামান্তরিক ঘিরে রেখেছে, তাই এটি সরাসরি ভিত্তি ও উচ্চতার গুণফল দিয়ে প্রকাশ পায়।

• সূত্রটি হলো:
  [
  ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
  ]

• উদাহরণস্বরূপ, যদি সামান্তরিকের ভূমি হয় ১২ সেমি এবং উচ্চতা ৮ সেমি, তাহলে ক্ষেত্রফল = ১২ × ৮ = ৯৬ বর্গ সেমি।

• অন্য বিকল্পগুলো ভুল, কারণ—

  • ১/২ (ভূমি × উচ্চতা) হলো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

  • দৈর্ঘ্য × প্রস্থ হলো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

  • (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) কোনো ক্ষেত্রফল নয়, বরং এটি পরিসীমা নির্ণয়ের অংশ হতে পারে।

অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সঠিক সূত্র হলো ভূমি × উচ্চতা।

সঠিক উত্তর হলো ঘ) ভূমি × উচ্চতা।