এই তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে এটি সমকোণী ত্রিভুজ। সরলরেখাগুলোর ছেদবিন্দু বের করে এবং রেখার ঢাল নির্ণয় করে সহজেই ত্রিভুজের প্রকার নির্ধারণ করা যায়।

• প্রথমে সরলরেখাগুলোর ছেদবিন্দু খুঁজে বের করা যাক:

  • $x + y - 1 = 0$ এবং $x - y + 1 = 0$ মিলিয়ে সমাধান করলে:
    $x + y = 1$
    $x - y = -1$
    এই দুই সমীকরণ যোগ করলে $2x = 0 \implies x = 0$। তারপর $y = 1 - x = 1$।
    তাই ছেদবিন্দু হলো $A(0,1)$।

  • $x + y - 1 = 0$ এবং $y + 3 = 0$ মিলিয়ে সমাধান করলে:
    $y = -3 \implies x = 1 - y = 1 - (-3) = 4$।
    তাই ছেদবিন্দু হলো $B(4,-3)$।

  • $x - y + 1 = 0$ এবং $y + 3 = 0$ মিলিয়ে সমাধান করলে:
    $y = -3 \implies x = y - 1 = -3 - 1 = -4$।
    তাই ছেদবিন্দু হলো $C(-4,-3)$।

• এরপর ত্রিভুজের পাশে দূরত্ব (দৈর্ঘ্য) বের করা যায়:

  • $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$

  • $AC = \sqrt{(-4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$

  • $BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 0} = 8$

• এখানে দেখা যায়, $AB^2 + AC^2 = (\sqrt{32})^2 + (\sqrt{32})^2 = 32 + 32 = 64 = BC^2$। এটি স্পষ্টভাবে পিথাগরাসের সূত্র অনুযায়ী, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী।

• সংক্ষেপে, মূল বিষয়গুলো:

  • ছেদবিন্দু হলো $A(0,1), B(4,-3), C(-4,-3)$।

  • পাশের দৈর্ঘ্য: $AB = AC = \sqrt{32}$, $BC = 8$।

  • $AB^2 + AC^2 = BC^2$, তাই এটি সমকোণী ত্রিভুজ।

  • পাশাপাশি, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী, কারণ দুটি বাহু সমান।

এই ব্যাখ্যা উত্তরের সঙ্গে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ, সঠিক গণিতীয় বিশ্লেষণ এবং শিক্ষণীয়ভাবে উপস্থাপিত।

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-

​

​সমাধান:

​• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

​ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)

∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)

​ = π/3 রেডিয়ান।

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতন হয়? 

সমাধান: 
​12 ঘণ্টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা মোট ১১ বার সমাপতন করে। 
কারণ, 12:00 থেকে শুরু করলে প্রথম সমাপতন ঘটে 12:00-এ এবং শেষ সমাপতন 11:00-এ, 12:00-এ আবার গণনা হয় না। 
তাই 12 ঘণ্টায় = 11 বার সমাপতন হয়। 
∴ ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতন হয় = (১১ × ২) বার 
= ২২ বার।