প্রশ্ন: সন্ধ্যা ৭ : ৩৫ মিনিট থেকে রাত ৮ : ২০ মিনিট পর্যন্ত একটি দেয়াল ঘড়ির মিনিটের কাঁটা কত ডিগ্রি ঘুরে? 

সমাধান:

সময়ের ব্যবধান = (৮ : ২০ - ৭ : ৩৫) মিনিট = ৪৫ মিনিট 

এখন,

মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে ঘুরে = ৩৬০° 

∴ মিনিটের কাঁটা ১ মিনিটে ঘুরে = ৩৬০°/৬০

∴ মিনিটের কাঁটা ৪৫ মিনিটে ঘুরে = (৩৬০° × ৪৫)/৬০ = ২৭০° 

উত্তর: ঘ) ১৩ : ১২ : ৫

সমকোণী ত্রিভুজে তিনটি বাহুর মধ্যে সম্পর্ক থাকে পাইথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী, যা হলো—
[
(অতিভুজ)^2 = (লম্ব)^2 + (ভূমি)^2
]

অর্থাৎ, সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুটি (অতিভুজ) অপর দুটি বাহুর বর্গফলের যোগফলের সমান। এখন দেওয়া অনুপাতগুলোর মধ্যে কোনটি এই সূত্র মেনে চলে, তা যাচাই করা যাক।

বিকল্প (ঘ): ১৩ : ১২ : ৫
এখানে অতিভুজ = ১৩, অন্য দুই বাহু = ১২ ও ৫।
তাহলে,
[
১৩^2 = ১২^2 + ৫^2
\Rightarrow ১৬৯ = ১৪৪ + ২৫
\Rightarrow ১৬৯ = ১৬৯
]
অর্থাৎ, পাইথাগোরাসের সূত্র পূরণ হচ্ছে। তাই এই অনুপাতটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের সঠিক অনুপাত।

অন্য বিকল্পগুলো পরীক্ষা করলে দেখা যায়—

• ৬ : ৪ : ৩ → ৬² = ৩৬, ৪² + ৩² = ২৫ ≠ ৩৬

• ৬ : ৫ : ৪ → ৬² = ৩৬, ৫² + ৪² = ৪১ ≠ ৩৬

• ১২ : ৮ : ৪ → ১২² = ১৪৪, ৮² + ৪² = ৮০ ≠ ১৪৪

এগুলো পাইথাগোরাসের সূত্র মেনে চলে না।

অতএব, একমাত্র ১৩ : ১২ : ৫ অনুপাতই সমকোণী ত্রিভুজের শর্ত পূরণ করে।
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো ঘ) ১৩ : ১২ : ৫।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ ছাড়া দুটি কোণের মধ্যে পার্থক্য ১০°। ঐ দুটি কোণের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
∴ বৃহত্তম কোণ = (ক + ১০)°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১০) + ৯০ = ১৮০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০০
⇒ ২ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/২
∴ ক = ৪০

∴ বৃহত্তম কোণ = (৪০ + ১০)°
= ৫০°