Question: Which of the following integers has the most divisors?

Solution:
• For 88:
Prime factorization: 88 = 23 × 11
Number of divisors = (3 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 = 8 divisors
Divisors are: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88

• For 91:
Prime factorization: 91 = 7 × 13
Number of divisors = (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 2 = 4 divisors
Divisors are: 1, 7, 13, 91

• For 95:
Prime factorization: 95 = 5 × 19
Number of divisors = (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 2 = 4 divisors
Divisors are: 1, 5, 19, 95

• For 99:
Prime factorization: 99 = 32 × 11
Number of divisors = (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6 divisors
Divisors are: 1, 3, 9, 11, 33, 99

Therefore, 88 has the most divisors.

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসালে ১০ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা 'ক' টি
একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্র বসলে ৪ টি বেঞ্চ খালি থাকে।

∴ ছাত্রসংখ্যা (ক - ৪) × ৬ জন

আবার,
প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসালে ১০ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৫ক + ১০ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৪) × ৬ = ৫ক + ১০
⇒ ৬ক - ২৪ = ৫ক + ১০
⇒ ৬ক - ৫ক = ১০ + ২৪ 
∴ ক = ৩৪

সুতরাং শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা = ৩৪ টি।

প্রশ্ন: একটি মিটিং এ ১২ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি ২ জনে ১ টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ১২C২
= ১২!/{২! × (১২ - ২)!}
= ১২!/(২! × ১০!)
= (১২ × ১১ × ১০!)/(২! × ১০!)
= (১২ × ১১)/২
= ৬৬