প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনে করি,

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a2

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে,

ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (a + 2)2

প্রশ্নমতে,

{(√3/4)(a + 2)2} - {(√3/4)a2} = 6√3

⇒ (√3/4){(a + 2)2 - a2} = 6√3

⇒ (√3/4){a2 + 4a + 4 - a2} = 6√3

⇒ (√3/4)(4a + 4) = 6√3

⇒ 4a + 4 = 6√3 × (4/√3)

⇒ 4a + 4 = 24

⇒ 4a = 20

⇒ a = 5

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে 4 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 40 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (x + 4) মিটার

আমরা জানি,

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,

2 × {(x + 4) + x} = 40

বা, 2 × (2x + 4) = 40

বা, 4x + 8 = 40

বা, 4x = 40 - 8

বা, 4x = 32

বা, x = 32/4

বা, x = 8

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 8 মিটার

এবং, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = (8 + 4) = 12 মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

= 12 × 8

= 96 বর্গমিটার

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি,

ছোট বিজোড় সংখ্যাটি = ক

∴ বড় বিজোড় সংখ্যাটি হবে ক + ২

প্রশ্নমতে,

(ক + ২)২ - ক২ = ৪০

⇒ ক২ + ৪ক + ৪ - ক২ = ৪০

⇒ ৪ক + ৪ = ৪০

⇒ ৪ক = ৪০ - ৪

⇒ ৪ক = ৩৬

⇒ ক = ৩৬/৪

⇒ ক = ৯

∴ ছোট সংখ্যাটি হলো ৯

এবং,

বড় সংখ্যাটি = ক + ২ = ৯ + ২ = ১১