প্রশ্নঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
ধরা যাক, অপর দুই বাহু যথাক্রমে ( x ) মিটার এবং ( \frac{3x}{4} ) মিটার।
অতিভুজ = ২৫ মিটার।

পাইথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
অতিভুজ² = প্রথম বাহু² + দ্বিতীয় বাহু²

অতএব,
( 25² = x² + \left(\frac{3x}{4}\right)² )
⇒ ( 625 = x² + \frac{9x²}{16} )
⇒ ( 625 = \frac{16x² + 9x²}{16} )
⇒ ( 625 = \frac{25x²}{16} )
⇒ ( x² = \frac{625×16}{25} )
⇒ ( x² = 400 )
⇒ ( x = 20 )

অতএব, অপর দুটি বাহু হলো ২০ মিটার এবং ( \frac{3×20}{4} = ১৫ ) মিটার।

সুতরাং, অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য অনুপাত = ১৫ : ২০ = ৩ : ৪

উত্তরঃ ক) ৩ : ৪

প্রশ্ন: ৩০ কি.মি পথ পাড়ি দিতে জয়নুলের রনির থেকে ২ ঘণ্টা সময় বেশি লেগেছে। জয়নুল যদি তার গতি দ্বিগুণ করত তাহলে রনির থেকে ১ ঘণ্টা সময় কম লাগত। জয়নুলের গতি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, জয়নুলের গতিবেগ = ক কি.মি./ঘণ্টা 
সময়ের পার্থক্য = ২ + ১ = ৩ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
(৩০/ক) - (৩০/২ক) = ৩
⇒ (৬০ - ৩০)/২ক = ৩
⇒ ৩০/২ক = ৩
⇒ ৬ক = ৩০
∴ ক = ৫

∴ জয়নুলের গতিবেগ ছিলো ৫ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন:  যদি 5x3 - 2x2 + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x3 - 2x2 + x + k
∴ f(3) = 5(3)3 - 2(3)2 + 3 + k
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + k
= 135 - 18 + 3 + k
= 120 + k

এখন, 
5x3 - 2x2 + x + k এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + k = 0
∴ k = - 120