প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। প্রতি বর্গমিটার ১২.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১,৬০০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ১,৬০০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১২.৫০ টাকা
সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ১,৬০০ ÷ ১২.৫০
= ১২৮ বর্গমিটার।

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ১২৮
বা, ২ক২ = ১২৮
বা, ক২ = ১২৮/২
বা, ক২ = ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

সুতরাং, প্রস্থ = ৮ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২ × ৮ = ১৬ মিটার।

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

সমাধান:

ধরি,

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার,

দৈর্ঘ্য = ৪ক মিটার

প্রশ্নমতে,

⇒ ৪ক × ক = ৫৭৬

⇒ ক২ = ৫৭৬/৪ = ১৪৪

∴ ক = ১২ মিটার

∴ প্রস্থ = ১২ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = ৪ × ১২ = ৪৮ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(৪৮ + ১২) = ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১২০/৪ = ৩০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু২ = ৩০২ = ৯০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি 12 সেমি ব্যাস এবং 9 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট বেলন থেকে গলিত ধাতু দিয়ে 9টি অভিন্ন গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাস কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।

দেয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 12 সেমি।
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 12/2 = 6 সেমি।
বেলনের উচ্চতা, h = 9 সেমি।

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr3
বেলনের আয়তন = πR2h

প্রশ্নমতে,
9টি গোলকের মোট আয়তন = 1টি বেলনের আয়তন।
⇒ 9 × (4/3) × π × r3 = π × R2 × h
⇒ 12 × π × r3 = π × 62 × 9
⇒ 12πr3 = π × 36 × 9
⇒ 12πr3 = 324 π
⇒ 12r3 = 324
⇒ r3 = 324/12
⇒ r3 = 27
⇒ r = 3 সেমি

∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = 3 সেমি।
∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 3 = 6 সেমি।