প্রশ্ন: (9x2 + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 9x2 + 6x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax2 + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9
b = 6
c = 1

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
D = b2 - 4ac
= (6)2 - 4 × 9 × 1
= 36 - 36
= 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

প্রশ্ন: A = {2, 3, 5} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, 3, 5}

A সেটের উপাদান = 3 টি
∴ A এর প্রকৃত উপসেট = 2n - 1
= 23 - 1
= 8 - 1
= 7 টি

সমাধান:
প্রথমে, সমীকরণ $x^3 - 5x + 6 = 0$ এর মূল খুঁজে বের করি।

$$x^3 - 5x + 6 = 0$$

সাধারণ ফ্যাক্টরিং পদ্ধতিতে:

$$x^3 - 5x + 6 = (x-2)(x^2 + 2x -3) = (x-2)(x-1)(x+3)$$

তাহলে মূলগুলো: $x = 2, 1, -3$

ইনটেরভাল টেস্ট:
মূলগুলো ক্রমান্বয়ে সাজাই: $-3, 1, 2$

• $x < -3 \Rightarrow (-)(-)(-) = -$ (নেতিবাচক)

• $-3 < x < 1 \Rightarrow (+)(-)(-) = +$ (ধনাত্মক)

• $1 < x < 2 \Rightarrow (+)(+)(-) = -$ (নেতিবাচক)

• $2 < x < \infty \Rightarrow (+)(+)(+) = +$ (ধনাত্মক)

প্রশ্নে $x^3 - 5x + 6 < 0$, অর্থাৎ নেতিবাচক।
নেতিবাচক অংশ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)$

উত্তর (দেওয়া অপশনের মধ্যে): $2 < x < 3$ 
দ্রষ্টব্য: মূল যাচাই অনুযায়ী, মূলটি $x = 2$ হলে সমীকরণ শূন্য, তাই strict inequality অনুযায়ী $x > 2$ হলে সমাধান থাকবে।

উত্তর: 2 < x < 3