প্রশ্নঃ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
ধরা যাক, অপর দুই বাহু যথাক্রমে ( x ) মিটার এবং ( \frac{3x}{4} ) মিটার।
অতিভুজ = ২৫ মিটার।

পাইথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
অতিভুজ² = প্রথম বাহু² + দ্বিতীয় বাহু²

অতএব,
( 25² = x² + \left(\frac{3x}{4}\right)² )
⇒ ( 625 = x² + \frac{9x²}{16} )
⇒ ( 625 = \frac{16x² + 9x²}{16} )
⇒ ( 625 = \frac{25x²}{16} )
⇒ ( x² = \frac{625×16}{25} )
⇒ ( x² = 400 )
⇒ ( x = 20 )

অতএব, অপর দুটি বাহু হলো ২০ মিটার এবং ( \frac{3×20}{4} = ১৫ ) মিটার।

সুতরাং, অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য অনুপাত = ১৫ : ২০ = ৩ : ৪

উত্তরঃ ক) ৩ : ৪

প্রশ্ন: 2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3 

প্রশ্নঃ log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + .............. ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ
প্রথম পদ, a₁ = log 2
দ্বিতীয় পদ, a₂ = log 4 = log(2²) = 2 log 2
তৃতীয় পদ, a₃ = log 8 = log(2³) = 3 log 2
চতুর্থ পদ, a₄ = log 16 = log(2⁴) = 4 log 2

অতএব ধারাটি হয়ঃ
log 2 + 2 log 2 + 3 log 2 + 4 log 2 + ........ + 10 log 2

= log 2 × (1 + 2 + 3 + 4 + ........ + 10)

= log 2 × [10(10 + 1) ÷ 2]

= log 2 × (10 × 11 ÷ 2)

= log 2 × 55

= 55 log 2

উত্তরঃ গ) 55 log 2