প্রশ্ন: x² - 10x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - 10x + 25 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = - 10
c = 25

এখন, সমীকরণের নিশ্চয়ক (Discriminant) নির্ণয় করি।
নিশ্চয়ক, D = b² - 4ac
= (- 10)² - 4 × 1 × 25
= 100 - 100
= 0

যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য-
• D > 0 (ধনাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও অসমান।

• D = 0 (শূন্য)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

• D < 0 (ঋণাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: কাল্পনিক/জটিল ও অসমান।

•  D > 0 এবং D একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
মূলের প্রকৃতি: মূলদ ও অসমান।

•  D > 0 কিন্তু D পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়
মূলের প্রকৃতি: অমূলদ ও অসমান।

প্রশ্ন: 10, 4, 3, 2, 14, 8, 1, 20, 11, 5, 38, 9, 18, 7, 6, 8, 26, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15 প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 26, 38 

প্রদত্ত উপাত্তে 8 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ উপাত্তগুলোর প্রচুরক হলো 8

প্রশ্ন: log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1
⇒ log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + log1010
⇒ log10[5(5b - 3)] = log10[10(b + 2)]
⇒ 25b - 15 = 10b + 20
⇒ 15b = 35
⇒ b = 35/15
∴ b = 7/3