প্রশ্ন: x3 - 2x2 + ax - 1 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 - 2x2 + ax - 1
যেহেতু x - 1 উৎপাদক, সেহেতু x = 1 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(1) এর মান নির্ণয় করি,
f(1) = 13 - 2(12) + a(1) - 1
= 1 - 2 + a - 1
= a - 2

শর্তমতে,
f(1) = 0 
⇒ a - 2 = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১০, ১২, ১৮ এবং ২৪ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:

১০ = ২ × ৫ = ২১ × ৫১

১২ = ২ × ২ × ৩ = ২২ × ৩১

১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২১ × ৩২

২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৩ × ৩১

∴ ল.সা.গু. = ২৩ × ৩২ × ৫১ = ৩৬০

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়), ৫ এর ঘাত = ১ (বিজোড়)।

∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ এবং ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৩৬০ × ২ × ৫ = ৩৬০০

∴ সর্বনিম্ন ৩৬০০টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

সংখাগুলো হতে পারেঃ ১,২ ও ৩; ২,৩ ও ৪; ৩,৪ ও ৫; ৪, ৫ ও ৬; ৫, ৬ ও ৭ প্রভৃতি।

কিন্তু ৪×৫×৬=১২০

এবং ৪+৫+৬ = ১৫

∴ নির্ণেয় যোগফল ১৫