প্রশ্ন: রমিজ সাহেব কিছু গাছ নিয়ে একটি বাগানে গাছ রোপন করতে গিয়ে দেখল যে প্রতি সারিতে 5 টি করে গাছ লাগালে 2 টি সারি খালি থাকে। আবার, প্রতি সারিতে 3 টি করে গাছ লাগালে 2 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। বাগানে মোট কতটি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন?

সমাধান:

ধরি, গাছের সংখ্যা n এবং সারির সংখ্যা r

তাহলে,

১ম শর্তমতে, n = 5 × (r - 2) ⇒ n = 5r - 10 ...... (1)

২য় শর্তমতে, n = (3 × r) + 2 ⇒ n = 3r + 2 ...... (2)

প্রশ্নমতে,

5r - 10 = 3r + 2

⇒ 5r - 3r = 2 + 10

⇒ 2r = 12

∴ r = 6

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই।

n = (5 × 6) - 10

= 30 - 10

= 20

∴ বাগানে মোট 20 টি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন।

প্রশ্ন: ৬ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে একটি ৪ সদস্যের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে যেখানে ২ জন মহিলা সর্বদা কমিটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
৬ জন মহিলা থেকে ২ জন ও ৫ জন পুরুষ থেকে ২ জন নিয়ে ৪ সদস্যের কমিটি গঠন করা যায়,
= ৬C২ × ৫C২ 
= {৬!/(২! × ৪! )} × {৫!/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫ × ৪!)/(২! × ৪!)} × {(৫ × ৪ × ৩!)/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫)/২} × {৫ × ৪)/২}
= ১৫ × ১০ 
= ১৫০ উপায়ে

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২ = (৮ × ২) = ১৬ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√২ × ক = ১৬
⇒ ক = ১৬/√২

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (১৬/√২)২ বর্গ সে.মি.
= ২৫৬/২ = ১২৮ বর্গ সে.মি.

 ∴ বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১২৮ বর্গ সে.মি.।