প্রশ্নঃ a + (a⁻¹) = √3 হলে, a² + (a⁻²) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
আমরা জানি,
(a + a⁻¹)² = a² + 2 + a⁻²

অতএব,
a² + a⁻² = (a + a⁻¹)² − 2

প্রদত্ত আছে,
a + a⁻¹ = √3

সুতরাং,
a² + a⁻² = (√3)² − 2
= 3 − 2
= 1

উত্তরঃ ১

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ 128 হলে, অনুক্রমের প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে
n তম পদ = aqn - 1
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq3 - 1 = aq2 = 16
∴ a = 16/q2 ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq6 - 1 = aq5 = (16/q2)q5 = 16q3

প্রশ্নমতে,
16q3 = 128
⇒ q3 = 128/16
⇒ q3 = 8
⇒ q3= 23
∴ q = 2

সুতরাং, প্রথম পদ = 16/(2)2
= 16/4
= 4

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ২টি দরে কমলা ক্রয় করে ৩৫ টাকায় কয়টি করে কমলা বিক্রয় করলে শতকরা ৪০ টাকা লাভ হবে?

সমাধান:

1. প্রথমে, ৫ টাকায় ২টি কমলা কিনলে, ১টি কমলার দাম হবে:

   $$\frac{৫}{২} = ২.৫০ \text{ টাকা}$$

2. ৩৫ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করতে হবে তা নির্ণয় করতে, আমরা প্রথমে ৪০% লাভের হিসাব করি।
   ৪০% লাভ হলে, বিক্রয় মূল্য হবে ক্রয়মূল্যের ১.৪ গুণ।
   তাহলে, ১টি কমলার ক্রয়মূল্য ২.৫০ টাকার ১.৪ গুণ হবে:

   $$২.৫০ \times ১.৪ = ৩.৫০ \text{ টাকা}$$

3. এখন, ৩৫ টাকায় প্রতি কমলা ৩.৫০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে, ৩৫ টাকা দিয়ে কতগুলো কমলা বিক্রয় করা যাবে তা নির্ণয় করি:

   $$\frac{৩৫}{৩.৫০} = ১০ \text{ টি}$$

উত্তর: খ) ১০টি