প্রশ্ন: y = x² বক্ররেখার (2,3) বিন্দুতে ঢাল কত?

সমাধান:
প্রথমে y = x² এর জন্য সাধারন আشتান (derivative) বের করতে হবে।
y = x²
d/dx (y) = d/dx (x²)
=> dy/dx = 2x

এখন (2,3) বিন্দুতে ঢাল বের করতে x = 2 এ রেখার ঢাল বের করি।
dy/dx = 2x
যেহেতু x = 2, তখন
dy/dx = 2 × 2 = 4

অতএব, ঢাল = 4

উত্তরঃ গ) 4

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি লম্বের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি এবং অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,

​সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ক মিটার 

​ভূমি = ২ক + ২ মিটার 

​অতিভুজ = (২ক + ২) + ১ মিটার = ২ক + ৩ মিটার 

​

​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

​অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২

⇒ ​(২ক + ৩)২ = ক২ + (২ক + ২)২ 

​⇒ ৪ক২ + ১২ক + ৯ = ক২ + ৪ক২ + ৮ক + ৪

⇒ ​৪ক২ + ১২ক + ৯ = ৫ক২ + ৮ক + ৪

​⇒ ৫ক২ - ৪ক২ + ৮ক - ১২ক + ৪ - ৯ = ০

​⇒ ক২ - ৪ক - ৫ = ০

⇒ ​ক২ - ৫ক + ক - ৫ = ০

​⇒ ​ক(ক - ৫) + ১(ক - ৫) = ০

⇒ ​(ক - ৫)(ক + ১) = ০

​​হয়, ক - ৫ = ০ অথবা ক + ১ = ০

​হয়, ক = ৫ অথবা ক = - ১

​​কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। 

​ ​∴ ক = ৫

​

অর্থাৎ লম্ব = ৫ মিটার 

∴ ​অতিভুজ = (২ × ৫ + ৩) মিটার = (১০ + ৩) মিটার = ১৩ মিটার 

প্রশ্ন: 100 টাকা 10% হারে 5 বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে, সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = 100 টাকা
সুদের হার, r = 10% = 10/100 = 1/10
সময়, n = 5 বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = P × r × n
= 100 × (1/10) × 5
= 50 টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,
C = P(1 + r)n
= 100 × (1 + 1/10)5
= 100 × (11/10)5
= 100 × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10)
= 100 × (161051/100000)
= 161051/1000
= 161.051 টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= (161.051 - 100) টাকা
= 61.051 টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = 61.051 - 50 = 11.051 টাকা