প্রশ্নঃ মূল বিন্দু হতে (-5, 5) এবং (5, k) বিন্দুদ্বয়ের দুরত্ব সমান হতে k এর মান কত?

সমাধানঃ
ধরা যাক, মূল বিন্দু O(0, 0)।
প্রথম বিন্দু A(-5, 5)
দ্বিতীয় বিন্দু B(5, k)

এখন,
O থেকে A পর্যন্ত দূরত্ব = √[(-5 - 0)² + (5 - 0)²]
= √[(−5)² + 5²]
= √(25 + 25)
= √50

O থেকে B পর্যন্ত দূরত্ব = √[(5 - 0)² + (k - 0)²]
= √(25 + k²)

যেহেতু দুটি দূরত্ব সমান,
√50 = √(25 + k²)

উভয় পাশে বর্গ করলে,
50 = 25 + k²

অতএব,
k² = 50 − 25
= 25

সুতরাং,
k = ±5

অতএব, k = 5

উত্তরঃ ঘ) 5

প্রশ্নঃ △ABC এর BC বাহুকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 60°, ∠B = 90° হলে, ∠ACD এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

অতএব,
∠A + ∠B + ∠C = 180°

∴ 60° + 90° + ∠C = 180°

∴ ∠C = 180° - (60° + 90°)
  = 180° - 150°
  = 30°

এখন, D বিন্দুটি BC বাহুর বর্ধিত অংশে অবস্থিত।
অতএব, ∠ACD হবে ∠C এর বহিঃকোণ।

বহিঃকোণ = 180° - অভ্যন্তরীণ কোণ

∴ ∠ACD = 180° - ∠C
  = 180° - 30°
  = 150°

উত্তরঃ 150°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি লম্বের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি এবং অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,

​সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ক মিটার 

​ভূমি = ২ক + ২ মিটার 

​অতিভুজ = (২ক + ২) + ১ মিটার = ২ক + ৩ মিটার 

​

​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

​অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২

⇒ ​(২ক + ৩)২ = ক২ + (২ক + ২)২ 

​⇒ ৪ক২ + ১২ক + ৯ = ক২ + ৪ক২ + ৮ক + ৪

⇒ ​৪ক২ + ১২ক + ৯ = ৫ক২ + ৮ক + ৪

​⇒ ৫ক২ - ৪ক২ + ৮ক - ১২ক + ৪ - ৯ = ০

​⇒ ক২ - ৪ক - ৫ = ০

⇒ ​ক২ - ৫ক + ক - ৫ = ০

​⇒ ​ক(ক - ৫) + ১(ক - ৫) = ০

⇒ ​(ক - ৫)(ক + ১) = ০

​​হয়, ক - ৫ = ০ অথবা ক + ১ = ০

​হয়, ক = ৫ অথবা ক = - ১

​​কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। 

​ ​∴ ক = ৫

​

অর্থাৎ লম্ব = ৫ মিটার 

∴ ​অতিভুজ = (২ × ৫ + ৩) মিটার = (১০ + ৩) মিটার = ১৩ মিটার