প্রশ্নঃ যদি x⁴ - x² + 1 = 0 হয়, তবে x + 1/x এর মান কত?

সমাধানঃ
ধরি, x + 1/x = a

তাহলে,
x² + 1/x² = a² - 2

এখন প্রদত্ত সমীকরণটি,
x⁴ - x² + 1 = 0

দুই পাশে 1/x² দ্বারা ভাগ করলে পাই,
x² - 1 + 1/x² = 0
অর্থাৎ, x² + 1/x² = 1

সুতরাং,
a² - 2 = 1
⇒ a² = 3
⇒ a = √3 বা -√3

x + 1/x ধনাত্মক হওয়ায়,
x + 1/x = √3

উত্তরঃ √3

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 36 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 10 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (10 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(10 - x)} = 100 - 9x

আবার,

অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (10 - x)}
= 9x + 10

প্রশ্নমতে,
(9x + 10) - (100 - 9x) = 36
⇒ 9x + 10 - 100 + 9x = 36
⇒ 18x - 90 = 36
⇒ 18x = 36 + 90
⇒ 18x = 126
⇒ x = 126/18
⇒ x = 7

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 100 - (9 × 7)
= 100 - 63 = 37

প্রশ্ন: x + y + z = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?

সমাধান:
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
= x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x² [∵ (a - b)² = a² - 2ab + b²]
= 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx
= 2(x² + y² + z²) - 2(xy + yz + zx)
= 2 ⋅ 14 - 2(xy + yz + zx)
= 28 - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} [∵ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= 28 - (6² - 14)
= 28 - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6