প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 190
⇒ n!/2!(n - 2)! = 190
⇒ {n × (n - 1)×(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190 [n! = n × (n - 1) × (n - 2)!]
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 190 × 2
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n2 - n - 380 = 0
⇒ n2 - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0

হয় n + 19 = 0 অথবা n - 20 = 0
⇒ n = - 19 অথবা n = 20

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 19 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 20

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 20টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হবে 23= 8টি।

নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}

∴ অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 7টি।

∴ কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা

= 7/8

প্রশ্ন: "SUCCESS" শব্দের বর্ণগুলো দিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'S'?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'S' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ৬টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে : U, C, C, E, S, S।

এখানে C ২টি, S ২টি রয়েছে।

∴ বাকি ৬টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

অতএব, 'S' দিয়ে শুরু হওয়া 'SUCCESS' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 180।