প্রশ্ন: ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১০০ জন ইতিহাসে, ৯০ জন ভূগোলে এবং ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
শুধু ইতিহাসে পাস = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
শুধু ভূগোলে পাস = (৯০ - ৬০) জন = ৩০ জন
উভয় বিষয়ে পাস = ৬০ জন

যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৪০ + ৩০ + ৬০) জন
= ১৩০ জন

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (১৫০ - ১৩০) জন = ২০ জন

Question:  A group has 8 men and 7 women. In how many ways can a committee of 5 people be formed if the number of women is at least 3?
​
​Solution:
​Given that,
​Total committee size = 5

And for women ≥ 3, possible distributions:
Three ways to formed the committee
1. 3 women + 2 men
2. 4 women + 1 man
3. 5 women + 0 men
​
​Now, 1st case- 3 women + 2 men
​Choose 3 women from 7, (7C3) = 35
​Choose 2 men from 8,  (8C2) = 28
​∴ Total ways = 35 × 28 = 980
​
​2nd case- 4 women + 1 man
​Choose 4 women from 7, (7C4) = 35
Choose 1 man from 8, (8C1) = 8
 ​∴ Total ways = 35 × 8 = 280
​
​And 3rd case-​5 women + 0 men
Choose 5 women from 7,  (7C5) = 21
No men to choose
​∴ Total ways = 21
​
​∴ ​Total ways = 980 + 280 + 21= 1281

Question: A bag contains 4 green balls and 3 yellow balls. If two balls are drawn without replacement, what is the probability that both are yellow?

Solution:

Total balls = 4 green + 3 yellow = 7 balls.

Probability that the first ball is yellow = 3/7

After removing 1 yellow ball, we have:

Remaining yellow balls = 2

Total remaining balls = 6

So, the probability that the second ball is yellow = 2/6 = 1/3

∴ Total probability (both yellow) = 3/7 × 1/3 = 1/7