Question: An observer 1.6 m tall stands 20 meters away from a tree. The angle of elevation from his eye to the top of the tree is 45°. What is the height of the tree?

Solution:

মনে করি, 
গাছটির উচ্চতা AB। পর্যবেক্ষকের চোখ C বিন্দুতে আছে এবং তার উচ্চতা CD = 1.6 m
পর্যবেক্ষক থেকে গাছটির দূরত্ব BD = 20 m
এখানে, A, C এবং E বিন্দু দ্বারা গঠিত ACE হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠C = 45°।

আমরা জানি,
tan θ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = AE এবং ভূমি = CE
∴ tan 45° = AE/20
∴ 1 = AE/20
∴ AE = 20 মিটার

গাছটির মোট উচ্চতা, AB = AE + EB
= 20 + 1.6
= 21.6 মিটার

সুতরাং, গাছটির উচ্চতা হলো 21.6 মিটার।

প্রশ্ন: ৮১ লিটার মিশ্রনে দুধ ও পানি ৭ : ২ অনুপাতে মিশ্রিত আছে। কি পরিমাণ দুধ যোগ করলে মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত ৮ : ২ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২ 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাতের সমষ্টি = ৯ 
∴ দুধ = (৮১ × ৭)/৯ = ৬৩ লিটার 
এবং 
পানি = (৮১ × ২)/৯ = ১৮ লিটার 

মনে করি, 
ক লিটার দুধ যোগ করতে হবে। 

প্রশ্নমতে, 
 ৬৩ + ক : ১৮ = ৮ : ২
বা, (৬৩ + ক)/১৮ = ৮/২
​বা, (৬৩ + ক)/১৮  = ৪  
​​বা, ৬৩ + ক  = ৪ × ১৮
বা, ৬৩ + ক = ৭২ 
বা, ক = ৭২ - ৬৩ 
∴ ক = ৯ 

∴ দুধ যোগ করতে হবে = ৯ লিটার ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই ১০% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:

ধরি,

দৈর্ঘ্য = ক এবং প্রস্থ = খ

∴ ক্ষেত্রফল = কখ

আবার,

নতুন দৈর্ঘ্য = ক + (ক এর ১০%) = ১.১ক

নতুন প্রস্থ = খ + (খ এর ১০%) = ১.১খ

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১.১ক × ১.১খ = ১.২১ কখ

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১.২১ কখ - কখ = ০.২১কখ

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = (০.২১কখ/কখ) × ১০০% = ২১%

সুতরাং ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে।