প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d ; যেখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর।

সুতরাং,

সমান্তর ধারার 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a + 3d

সমান্তর ধারার 12 পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে,

a + 3d + a + 11d = 20

∴ 2a + 14d = 20 ........ (1)

আবার,

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল = (n/2) × {2a + (n - 1)d}

∴ সমান্তর ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}

= (15/2) × {2a + 14d}

= (15/2) × 20 ; [(1) নং হতে]

= 15 × 10

= 150

সুতরাং, ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল 150

Question: Six bells commence tolling together and toll at intervals of 3, 5, 6, 9, 10, and 15 seconds respectively. In 45 minutes, how many times do they toll together?

Solution:
3 = 31
5 = 51
6 = 2 × 3
9 = 32
10 = 2 × 5
15 = 3 × 5

∴ ল.সা.গু. = 21 × 32 × 51 = 2 × 9 × 5 = 90।

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো প্রতি 90 সেকেন্ড পর পর একসাথে বাজবে।

এখন, 45 মিনিট = 45 × 60 = 2700 সেকেন্ড।

মোট 2700 সেকেন্ডে ঘণ্টাগুলো যতবার একসাথে বাজবে তার সংখ্যা হলো = 2700/90 = 30 বার।

যেহেতু ঘণ্টাগুলো প্রথমে একবার একসাথে বাজা শুরু করেছিল, তাই মোট সংখ্যাটি হবে 30 এর সাথে সেই প্রথমবারটি যোগ করে।
∴ মোট সংখ্যা = 30 + 1 = 31 বার।

সুতরাং, 45 মিনিটে ঘণ্টাগুলো মোট 31 বার একসাথে বাজবে।

প্রশ্ন: log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1
⇒ log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + log1010
⇒ log10[5(5b - 3)] = log10[10(b + 2)]
⇒ 25b - 15 = 10b + 20
⇒ 15b = 35
⇒ b = 35/15
∴ b = 7/3