প্রশ্ন: ax + by = a2; bx - ay = ab; এই সহ-সমীকরণের (x, y) এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

ax + by = a2 ............ (1)

bx - ay = ab..........(2)

সমীকরণ (1)-কে b দিয়ে গুণ করে পাই, abx + b2y = a2b.......(3)

সমীকরণ (2)-কে a দিয়ে গুণ করে পাই, abx - a2y = a2b.......(4)

এখন, (3) - (4) করে পাই,

abx + b2y - abx + a2y = a2b - a2b

⇒ y(a2 + b2) = 0

∴ y = 0

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

ax + 0 = a2

⇒ x = a2/a = a

∴ x = a

সুতরাং, সমাধান (x, y) = (a, 0)

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = 12 cm
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 6 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 60° 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s = ?

আমরা জানি,
s = πrθ/180°
⇒ s =  (π × 6 × 60°)/180°
∴ s = 2π সে.মি.

Question: A 320 metre long train crosses a platform twice its length in 48 seconds. What is the speed of the train in km/hr?

Solution:
দেওয়া আছে,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = 320 মিটার
প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য = 2 × 320 = 640 মিটার

অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য)
= (320 + 640) মিটার
= 960 মিটার

সময় লেগেছে = 48 সেকেন্ড

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = দূরত্ব / সময়
= 960 / 48 মিটার/সেকেন্ড
= 20 মিটার/সেকেন্ড

এখন,
1 মিটার/সেকেন্ড = (1/1000)/(1/3600) কিমি/ঘন্টা
= 3.6 কিমি/ঘন্টা

1 মিটার/সেকেন্ড = 3.6 কিলোমিটার/ঘন্টা
∴ 20 মিটার/সেকেন্ড = 20 × 3.6 কিলোমিটার/ঘন্টা
= 72 কিলোমিটার/ঘন্টা

সুতরাং, ট্রেনটির গতিবেগ 72 কিমি/ঘন্টা।