প্রশ্নঃ x = sin y হলে x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধানঃ
sin y এর মান সর্বদা −1 ≤ sin y ≤ 1
অতএব, sin y এর সর্বোচ্চ মান = 1

সুতরাং, x এর সর্বোচ্চ মান = 1

উত্তরঃ 1

একটি গামলার আংশিক পানিভর্তি অবস্থায় মোট ওজন থেকে গামলার নিজস্ব ওজন নির্ণয় করতে প্রথমে গামলার ওজনকে x কেজি এবং পূর্ণ পানির ওজনকে y কেজি ধরা হয়েছে। এরপর দুটি শর্তের উপর ভিত্তি করে সমীকরণ গঠন ও সমাধান করা হয়েছে।

• প্রথম অবস্থায় গামলাটি ৭/৮ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন হয় x + (৭/৮)y = ২১ কেজি
• দ্বিতীয় অবস্থায় গামলাটি ৩/৪ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন হয় x + (৩/৪)y = ১৯ কেজি
• দুটি সমীকরণকে বিয়োগ করলে পাওয়া যায় y{(৭/৮) − (৩/৪)} = ২, অর্থাৎ y = ১৬ কেজি
• এই মানটি প্রথম সমীকরণে বসালে পাওয়া যায় x + (৭/৮) × ১৬ = ২১, অর্থাৎ x + ১৪ = ২১
• সুতরাং x = ৭ কেজি

অতএব গামলার নিজস্ব ওজন ৭ কেজি।

প্রশ্নঃ দুটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৮, গুণফল ৩। সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ
ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা ( x ) এবং ( y )।
তাহলে,
( x^2 - y^2 = 8 ) … (১)
এবং ( xy = 3 ) … (২)

সমীকরণ (১) থেকে পাই,
( (x + y)(x - y) = 8 )

এখন,
আমরা জানি,
( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 )
অতএব,
( x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy )

এখন ( x + y ) এবং ( x - y )-এর মান বের করতে হবে।

ধরি, ( x + y = a ) এবং ( x - y = b )
তাহলে, ( ab = 8 ) এবং ( xy = 3 )

এখন,
( x = \dfrac{a + b}{2} ) এবং ( y = \dfrac{a - b}{2} )

তাহলে,
( xy = \dfrac{(a + b)(a - b)}{4} = \dfrac{a^2 - b^2}{4} )

অতএব,
( \dfrac{a^2 - b^2}{4} = 3 )
⇒ ( a^2 - b^2 = 12 ) … (৩)

আবার (১) অনুযায়ী, ( ab = 8 )

এখন, (৩) থেকে পাই,
( a^2 + b^2 = (a^2 - b^2) + 2b^2 = 12 + 2b^2 )

কিন্তু আমাদের প্রয়োজন ( x^2 + y^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{2} )

তাহলে,
( x^2 + y^2 = \dfrac{12 + 2b^2}{2} = 6 + b^2 )

এখন, ( ab = 8 ) ⇒ ( a = \dfrac{8}{b} )

(৩) থেকে, ( a^2 - b^2 = 12 )
অর্থাৎ, ( \dfrac{64}{b^2} - b^2 = 12 )
⇒ ( 64 - b^4 = 12b^2 )
⇒ ( b^4 + 12b^2 - 64 = 0 )

ধরি, ( b^2 = k )
তাহলে, ( k^2 + 12k - 64 = 0 )

অতএব,
( k = \dfrac{-12 ± \sqrt{12^2 - 4×1×(-64)}}{2} = \dfrac{-12 ± \sqrt{144 + 256}}{2} = \dfrac{-12 ± \sqrt{400}}{2} = \dfrac{-12 ± 20}{2} )

অতএব, ( k = 4 ) (ধনাত্মক মান গ্রহণ করব)

অতএব, ( b^2 = 4 )

এখন, ( x^2 + y^2 = 6 + b^2 = 6 + 4 = 10 )

উত্তরঃ ১০