প্রশ্ন: একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ডকের উচ্চতা = ক ফুট
নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব = ১২ ফুট
নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য = (২ক + ৩) ফুট

প্রশ্নানুসারে, 
(২ক + ৩)২ = ক২ + ১২২
⇒ ৪ক২ + ১২ক + ৯ = ক২ + ১৪৪
⇒ ৩ক২ + ১২ক - ১৩৫ = ০
⇒ ৩(ক২ + ৪ক - ৪৫) = ০
⇒ ক২ + ৪ক - ৪৫ = ০
⇒ ক২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = ০
⇒ ক(ক + ৯) - ৫(ক + ৯) = ০
⇒ (ক + ৯)(ক - ৫) = ০
∴ ক = ৫; কিন্তু ক এর মান - ৯ গ্রহণযোগ্য নয়।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ ছাড়া দুটি কোণের মধ্যে পার্থক্য ১০°। ঐ দুটি কোণের মধ্যে বৃহত্তম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
∴ বৃহত্তম কোণ = (ক + ১০)°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১০) + ৯০ = ১৮০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৮০
⇒ ২ক = ১৮০ - ১০০
⇒ ২ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/২
∴ ক = ৪০

∴ বৃহত্তম কোণ = (৪০ + ১০)°
= ৫০°

প্রশ্নঃ শুধু পরিসীমা জানলেই - i) বর্গ আঁকা সম্ভব, ii) সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব, iii) আয়ত আঁকা সম্ভব।

সমাধানঃ
বর্গ ও সমবাহু ত্রিভুজ — উভয় ক্ষেত্রেই সকল বাহু সমান হয়। তাই শুধু পরিসীমা জানা থাকলেই বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।

ধরা যাক,
পরিসীমা = P

i) বর্গের জন্য
বর্গের ৪টি বাহু সমান।
অতএব, এক বাহু = P ÷ 4
→ বাহু নির্ণয় করা গেলে বর্গ আঁকা সম্ভব।

ii) সমবাহু ত্রিভুজের জন্য
ত্রিভুজের ৩টি বাহু সমান।
অতএব, এক বাহু = P ÷ 3
→ বাহু নির্ণয় করা গেলে সমবাহু ত্রিভুজও আঁকা সম্ভব।

iii) আয়তের জন্য
আয়তের বিপরীত বাহু সমান হলেও লম্ব ও প্রস্থ ভিন্ন হতে পারে।
শুধু পরিসীমা জানা থাকলে লম্ব ও প্রস্থ নির্দিষ্ট করা যায় না।
অতএব, আয়ত আঁকা সম্ভব নয়।

উত্তরঃ ক) i ও ii