প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ১৫ + . . . ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:

এখানে, 

৭ - ৩ = ৪

১১ - ৭ = ৪

∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৩

সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ৩ = ৪

পদের সংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি,

 সমান্তর ধারার প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/২)[২a + (n - ১)d]

∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি = S২৫ = (২৫/২)[২(৩) + (২৫ - ১)৪]

= (২৫/২)[৬ + (২৪)৪]

= (২৫/২)(৬ + ৯৬)

= (২৫/২) × ১০২

= ২৫ × ৫১

= ১২৭৫

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল ১২৭৫।

সমাধান ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত জ্যামিতিক ধারা:

$$\frac{1}{\sqrt{3}},\ -1,\ \sqrt{3},\ \dots$$

১. প্রথম পদ:

$$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

২. সাধারণ অনুপাত (r):

$$r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{-1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

৩. জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ সূত্র:

$$T_n = a \cdot r^{\,n-1}$$

৪. পঞ্চম পদ (n = 5):

$$T_5 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^{5-1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^4$$ $$(-\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$$ $$T_5 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 9 = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

উত্তর: পঞ্চম পদ = 3√3

সমাধান:

A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}

= {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}

= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

∴ A\B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

= {1, 5 }