প্রশ্ন: সাবিনা তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ২০০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে আগের মাসের তুলনায় ২৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। সাবিনা ১৫তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ২০০০
সাধারণ অন্তর, d = ২৫০

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ১৫তম পদ = ২০০০ + (১৫ - ১) × ২৫০
= ২০০০ + ১৪ × ২৫০
= ২০০০ + ৩৫০০
= ৫৫০০

∴ সাবিনা ১৫তম মাসে সঞ্চয় করবেন ৫৫০০ টাকা।

Question: In a mixture of milk and water, the ratio is 7 : 5. If 6 liters of water is added, the new ratio becomes 7 : 6. What was the original amount of milk in the mixture?

Solution:

ধরি, শুরুতে দুধ ছিল = 7x লিটার,

পানি ছিল = 5x লিটার।

এখন 6 লিটার পানি যোগ করলে,

নতুন পানি = 5x + 6 লিটার

ATQ,

7x/(5x + 6) = 7/6

⇒ 6 × 7x = 7 × (5x + 6)

⇒ 42x = 35x + 42

⇒ 7x = 42

⇒ x = 6

∴ দুধের পরিমাণ = 7x = 7 × 6 = 42 লিটার

প্রশ্ন: log2 + log4 + log16 + log256 + ... এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log16 + log256 + ...
প্রথম 10টি পদ হবে,
log(2¹) + log(2²) + log(2⁴) + log(2⁸) + log(2¹⁶) + log(2³²) + log(2⁶⁴) + log(2¹²⁸) + log(2²⁵⁶) + log(2⁵¹²)
= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512)log2
এখানে,
প্রথম পদ = 1, সাধারণ অনুপাত = 2 এবং সংখ্যা = 10
= a(rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
= 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 2¹⁰ - 1

এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি  (2¹⁰ - 1)log2