প্রশ্ন: নিচের কোনটি x2 + ax - (3a + 1)(2a + 1) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
x2 + ax - (3a + 1)(2a + 1)
= x2 + ax - (3a + 1)(3a + 1 - a)
= x2 + ax - y(y - a) [ধরি, y = 3a + 1]
= x2 + ax - y2 + ay
= (x2 - y2) + (ax + ay)
= (x - y)(x + y) + a(x + y)
= (x + y)(x - y + a)
= (x + 3a + 1){x - (3a + 1) + a}
= (x + 3a + 1)(x - 3a - 1 + a)
= (x + 3a + 1)(x - 2a - 1)

Question: How many terms are there in the geometric progression,

3, 6, 12, 24, …, 1536

Solution:

First term, a = 3

Common ratio, r = 6/3 = 2

Last term or nth term of GP = arn - 1

⇒ 1536 = 3 × (2n - 1)

⇒ 2n - 1 = 1536/3

⇒ 2n - 1 = 512

⇒ 2n - 1 = 29

So, comparing the power,

Thus, n - 1 = 9

∴ n = 10

∴ Number of terms = 10

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ২১ মিটার 
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = ১৫ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।