প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ পাঁচটি কোণের সমষ্টি কত?

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = ১৮০°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে ১৮০° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ৩ × ১৮০° - (A + B + C) 
= ৫৪০° - ১৮০° = ৩৬০° 

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার কক্ষের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরীসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার
১ম শর্তমতে,
xy = 192 বর্গ মিটার.
∴ y = 192/x ... .......... (1)

২য় শর্তমতে,
(x - 4)(y + 4) = xy
⇒ xy + 4x - 4y - 16 = xy
⇒ 4(x - y) = 16
∴ x - y = 4 .......... (2)

এখন y এর মান ২ নং এ বসিয়ে পাই,
x - 192/x = 4
⇒ x2 - 4x - 192 = 0
⇒ x2 - 16x + 12x - 192 = 0
⇒ (x - 16)(x + 12) = 0

কিন্তু,
x = 16 এবং x ≠ -12
∴ x = 16 এবং y = 192/16 = 12

আয়তক্ষেত্র পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(16 + 12) = 56 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা, 4a = 56
∴ a = 14
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 142 = 196 বর্গমিটার