প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার ও আয়তন 900 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক
বেলনের আয়তন = πr2h ঘন একক

প্রশ্নমতে,
2πrh = 300
এবং πr2h = 900

অতএব,
(2πrh)/(πr2h) = 300/900
⇒ 2/r = 1/3
⇒ r = 6

সুতরাং, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 6 মিটার।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে (r + n) করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr2
এবং
ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)2

প্রশ্নমতে, 
2 × πr2 = π(r + n)2
বা, 2r2 = (r + n)2
বা, √2r = r + n
বা, √2r - r = n 
বা, r(√2 - 1) = n 
∴ r = n/(√2 - 1)

একটি ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল সবসময় ১৮০° হয়। এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক নীতি। ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি কেন ১৮০° হয়, তা বুঝতে হলে কিছু মূল ধারণা জানানো প্রয়োজন:

• ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, এবং তাদের পরস্পরের মধ্যে সোজা কোণ তৈরি করে।

• যদি ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° থাকে, তাহলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে, কিন্তু এমনটা সব ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

• ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল ১৮০° হওয়ার বিষয়টি পৃথিবীর প্রতিটি ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য, যেটি ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

• ত্রিভুজের এক কোণ সোজা (৯০°) হওয়ার পর অন্য দুটি কোণ মিলিয়ে ৯০° থাকে, কিন্তু এই নীতি সঠিক থাকবে যদি ত্রিভুজটি সঠিকভাবে গঠিত হয়।

এটি জ্যামিতির বিভিন্ন প্রমাণ দ্বারা প্রমাণিত।