প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = ক
∴ অপর সূক্ষ্মকোণ = ক - ২০°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের যোগফল ৯০° হয়।
প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ২০°) = ৯০°
⇒ ২ক - ২০° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° + ২০°
⇒ ২ক = ১১০°
⇒ ক = ১১০°/২
⇒ ক = ৫৫°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণটির মান = ৫৫° - ২০° = ৩৫°

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
এখানে, মধ্যমা PM এবং ভরকেন্দ্র G।
সুতরাং, PG : GM = 2 : 1
দেওয়া আছে, GM = 6 সেমি।
প্রশ্নমতে,
PG/GM = 2/1
বা, PG/6 = 2
বা, PG = 6 × 2
∴ PG = 12 সেমি
এখন, মধ্যমা PM এর মোট দৈর্ঘ্য হলো এর দুটি অংশের যোগফল।
PM = PG + GM
= 12 + 6
= 18 সেমি
অতএব, PM এর দৈর্ঘ্য 18 সেমি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 5 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
ধরি, তিনটি কোণ = 2x, 3x এবং 5x
অতএব,
2x + 3x + 5x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

∴ কোণগুলো হলো:
2x = 36°, 3x = 54°, 5x = 90°

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।