সমাধান:

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17

সাধারণ অন্তর, d = 14 - 17 = - 3

n-তম পদ = - 7

আমরা জানি,

n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,

a + (n - 1)d = - 7

⇒ 17 + (n - 1)(- 3) = - 7

⇒ 17 - 3n + 3 = - 7

⇒ 20 - 3n = - 7

⇒ 3n = 20 + 7

⇒ 3n = 27

⇒ n = 27/3

⇒ n = 9

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

= (9/2){(2 × 17) + (9 - 1)(- 3)}

= (9/2){34 - 24}

= (9/2)(10)

= (9/2) × 10

= 45

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ..........+ ৭৭ = ?

সমাধান:
১ম পদ, a = ১
সাধারন অন্তর, d = ৪

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার, n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ ৭৭ = ১ + (n - ১)৪
⇒ ৭৭ = ১ + ৪n - ৪
⇒ ৪n = ৮০
⇒ n = ২০

∴ সমষ্টি Sₙ = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২০/২) {২ × ১ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৭৮
= ৭৮০

সমাধান ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত জ্যামিতিক ধারা:

$$\frac{1}{\sqrt{3}},\ -1,\ \sqrt{3},\ \dots$$

১. প্রথম পদ:

$$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

২. সাধারণ অনুপাত (r):

$$r = \frac{\text{দ্বিতীয় পদ}}{\text{প্রথম পদ}} = \frac{-1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

৩. জ্যামিতিক ধারার n-তম পদ সূত্র:

$$T_n = a \cdot r^{\,n-1}$$

৪. পঞ্চম পদ (n = 5):

$$T_5 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^{5-1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^4$$ $$(-\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$$ $$T_5 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 9 = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

উত্তর: পঞ্চম পদ = 3√3