প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২

∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°

প্রশ্নঃ ১০ সে. মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ৬ সে. মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

সমাধানঃ
ধরা যাক, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি.
জ্যা-এর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = ৬ সে.মি.

জ্যা-কে কেন্দ্র থেকে অম্বিক রেখা দ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব,
[
\text{অর্ধেক জ্যা}^2 + ৬^2 = ১০^2
]
[
\text{অর্ধেক জ্যা}^2 = ১০০ - ৩৬ = ৬৪
]
[
\text{অর্ধেক জ্যা} = \sqrt{৬৪} = ৮
]
[
\text{জ্যা-এর দৈর্ঘ্য} = ৮ × ২ = ১৬
]

উত্তরঃ ১৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(ক)২ + (ক)২ = (১০)২
⇒ ২ক২ = ১০০
⇒ ক২ = ১০০/২
⇒ ক২ = ৫০
⇒ ক = √৫০

∴ সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য √৫০ সেমি।

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং, ভূমি ও উচ্চতার দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ক × ক 
= (১/২) × ক২
 = (১/২) × ৫০
 = ২৫

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গসেমি।