প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতন হয়? 

সমাধান: 
​12 ঘণ্টায় ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা মোট ১১ বার সমাপতন করে। 
কারণ, 12:00 থেকে শুরু করলে প্রথম সমাপতন ঘটে 12:00-এ এবং শেষ সমাপতন 11:00-এ, 12:00-এ আবার গণনা হয় না। 
তাই 12 ঘণ্টায় = 11 বার সমাপতন হয়। 
∴ ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতন হয় = (১১ × ২) বার 
= ২২ বার।

উত্তর: ঘ) ১৩ : ১২ : ৫

সমকোণী ত্রিভুজে তিনটি বাহুর মধ্যে সম্পর্ক থাকে পাইথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী, যা হলো—
[
(অতিভুজ)^2 = (লম্ব)^2 + (ভূমি)^2
]

অর্থাৎ, সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুটি (অতিভুজ) অপর দুটি বাহুর বর্গফলের যোগফলের সমান। এখন দেওয়া অনুপাতগুলোর মধ্যে কোনটি এই সূত্র মেনে চলে, তা যাচাই করা যাক।

বিকল্প (ঘ): ১৩ : ১২ : ৫
এখানে অতিভুজ = ১৩, অন্য দুই বাহু = ১২ ও ৫।
তাহলে,
[
১৩^2 = ১২^2 + ৫^2
\Rightarrow ১৬৯ = ১৪৪ + ২৫
\Rightarrow ১৬৯ = ১৬৯
]
অর্থাৎ, পাইথাগোরাসের সূত্র পূরণ হচ্ছে। তাই এই অনুপাতটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের সঠিক অনুপাত।

অন্য বিকল্পগুলো পরীক্ষা করলে দেখা যায়—

• ৬ : ৪ : ৩ → ৬² = ৩৬, ৪² + ৩² = ২৫ ≠ ৩৬

• ৬ : ৫ : ৪ → ৬² = ৩৬, ৫² + ৪² = ৪১ ≠ ৩৬

• ১২ : ৮ : ৪ → ১২² = ১৪৪, ৮² + ৪² = ৮০ ≠ ১৪৪

এগুলো পাইথাগোরাসের সূত্র মেনে চলে না।

অতএব, একমাত্র ১৩ : ১২ : ৫ অনুপাতই সমকোণী ত্রিভুজের শর্ত পূরণ করে।
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো ঘ) ১৩ : ১২ : ৫।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে একটি দড়ি দিয়ে বেড়া দেওয়া হয়েছে। দড়ির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার 
∴ মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার 
= ৫০ মিটার 

এখন,
মাঠটির পরিসীমাই হবে দড়ির মোট দৈর্ঘ্য। 
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি 
= (৪ × ৫০) মিটার 
= ২০০ মিটার 

∴ দড়ির মোট দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার।